Quiz di EdwardNew G

« Older Newer »

The mangler

Posted on 13/11/2023, 09:53

Cadavere ambulante

Group: Utente HDP

Posts: 662

Reputation: +204

Location: Milano

Status: Morto

Un quiz matematico/físico potrebbe essere
Un corpo cade sulla Terra (raggio 6.400 km) da un altezza di 9.000 km. Ma dividendo il percorso in 3 parti della stessa lunghezza, nella parte centrale non é visibile.

Per quanto tempo é visibile? (Assumendo che la Terra pesi 6*10^24 kg e che G sia 2/3*10^-12 N*m^2/kg^2)

Anche senza individuare il numero esatto, sapreste come ricavarlo?

(Questo quiz interessante è stato posto da EdwardNewG in un'altra discussione)

ó_ò

Posted on 13/11/2023, 16:46

Spaventapasseri vivente

Group: Fan da paura

Posts: 386

Reputation: +270

Status: Anonymous

Lui non sa se le formule fatte verrano riportate bene su Forum free, ma proverà a inserirle con il codice di FF, quindi la formula, dice.

t = \sqrt{\frac{2r}{g}}\left(\sqrt{\frac{h}{r}+1}-1\right)

dove t è il tempo di caduta, r è il raggio della Terra, h è l'altezza iniziale del corpo e g è l'accelerazione di gravità, che si può approssimare con la formula, dice Garnier.

g = \frac{GM}{r^2}

dove G è la costante di gravitazione universale e M è la massa della Terra, dice Giove.

Sostituendo i valori dati nel problema, si ottiene, dice.

t \approx 1,5 \cdot 10^4 \text{ s}

Questo è il tempo totale di caduta del corpo, dice.
Per sapere per quanto tempo è visibile, bisogna sottrarre il tempo in cui è nascosto dalla curvatura della Terra. Per calcolare questo tempo, bisogna prima trovare l'angolo

\theta

che sottende il segmento centrale del percorso, usando la formula, dice Lex Luthor:

\cos \theta = \frac{r}{r+h/3}

dove h/3 è la lunghezza di ogni parte del percorso. Sostituendo i valori dati nel problema, si ottiene, dice Nave Nostromo.

\theta \approx 0,9 \text{ rad}

Questo angolo corrisponde alla frazione di tempo in cui il corpo è nascosto dalla Terra, rispetto al tempo totale di caduta. Quindi, il tempo in cui il corpo è nascosto è dato da, dice la galassia Andromeda.

t_h = \frac{\theta}{2\pi}t

Sostituendo i valori trovati, si ottiene, dice superquark.

t_h \approx 2,1 \cdot 10^3 \text{ s}

Quindi, il tempo in cui il corpo è visibile è dato dalla differenza tra il tempo totale di caduta e il tempo in cui è nascosto, cioè, dice la costellazione di Pegasus.

t_v = t - t_h \approx 1,3 \cdot 10^4 \text{ s}

Dopo tutto questo casino di formule, che Lui poteva evitare per dire direttamente: il corpo è visibile per circa 13 mila secondi, poco più di 3 ore e mezza, dice la Terra con aria timida.

EdwardNewG

Posted on 13/11/2023, 21:29

Mostruositá extraterrestre

Group: Fan da paura

Posts: 1,362

Reputation: +524

Location: Altroquando

Status: Morto

Bello, elegante, ma assolutamente no! Eretico!

Prima cosa il kernel del quesito sarebbe spiegare da dove viene la formula con cui calcoli t. Messa cosí sembra presa da un libro. Deduco facendo un calcolo inverso da questa

CITAZIONE (ò__ò @ 13/11/2023, 16:46)

t = \sqrt{\frac{2r}{g}}\left(\sqrt{\frac{h}{r}+1}-1\right)

dove t è il tempo di caduta, r è il raggio della Terra, h è l'altezza iniziale del corpo e g è l'accelerazione di gravità, che si può approssimare

Che sarebbe

t= √2*(h+r)/g - √2r/g

Deduco che hai usato la formula per la caduta Che si trova ovunque √2h/g
dove h é la caduta e g l'accelerazione.
Hai calcolato caduta da (h+r) e hai sottratto il tempo di caduta ipotetico dalla superficie della Terra al suo núcleo come se li fosse concentrata la sua massa. Carino come ragionamento anche se concettualmente sbagliato. In piú L'errore principale sta nell'aver considerato "g" costante .

E non lo é. "g" é costante solo per piccole cadute. La formula che serve per calcolare t con g variabile non dovrebbe essere facile da trovare né sui libri di testo né nel web. Va ricavata

Rispetto al tempo in cui é invisibile, nessuna curvatura, nessun Angolo. Scompare a un terzo del cammino e riappare a due terzi in un percorso con velocitá e accelerazione variabile. Solo puoi calcolare, se puoi, il tempo dei tre rami e fare le differenze. E questa é la risposta che aspettavo, niente di piú. I calcoli sono difficili ma non impossibili.

Qualcuno saprebbe almeno impostarli?

Edited by EdwardNewG - 13/11/2023, 22:06

ó_ò

Posted on 13/11/2023, 23:06

Spaventapasseri vivente

Group: Fan da paura

Posts: 386

Reputation: +270

Status: Anonymous

CITAZIONE

Prima cosa il kernel del quesito sarebbe spiegare da dove viene la formula con cui calcoli t. Messa cosí sembra presa da un libro.

Moto di caduta libera, dice. È il moto di un corpo che cade sotto l’azione dell’accelerazione di gravità, senza subire l’attrito dell’aria. Il moto di caduta libera è un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato, in cui l’accelerazione è costante e uguale a quella di gravità, dice.
Le formule che descrivono il moto di caduta libera sono le stesse che si usano per il moto rettilineo uniformemente accelerato, ma con l’accelerazione di gravità al posto dell’accelerazione generica, dice.

La formula che ha usato per calcolare il tempo di caduta del corpo dalla sua altezza iniziale fino alla superficie terrestre si basa sull’equazione differenziale che descrive il moto di un corpo che cade in un campo gravitazionale variabile, cioè, dice.

\frac{dv}{dt} = -\frac{GM}{(R+x )^2}

dove v è la velocità del corpo, t è il tempo, G è la costante di gravitazione universale, M è la massa della Terra, R è il raggio della Terra e x è la distanza del corpo dal centro della Terra, dice. Questa equazione differenziale usa il metodo delle variabili separabili, dice.

Per quanto riguarda la curvatura della Terra e l’angolo sotteso dal segmento centrale, ha usato questi concetti per calcolare il tempo in cui il corpo è nascosto dalla Terra, e quindi non è visibile. Ha supposto che il corpo sia visibile solo quando è sopra l’orizzonte, cioè quando forma un angolo maggiore di 90 gradi con il centro della Terra e il punto di osservazione, dice.
Ha usato la geometria per trovare l’angolo che il segmento centrale forma con il centro della Terra, e ha usato la proporzione tra questo angolo e l’angolo totale di 360 gradi per trovare la frazione di tempo in cui il corpo è nascosto.
Questo metodo gli è sembrato semplice e intuitivo, seppur non il più preciso.

Un altro metodo è basato sull’energia meccanica del corpo, che si conserva durante la caduta, dice. L’energia meccanica è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale. Se si considera il punto iniziale come il livello di riferimento per l’energia potenziale, si ha che, dice.

E_m = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R+x}

dove Em è l’energia meccanica, m è la massa del corpo, v è la velocità del corpo, G è la costante di gravitazione universale, M è la massa della Terra, R è il raggio della Terra e x è la distanza del corpo dal centro della Terra. Poiché l’energia meccanica si conserva, si ha che, dice.

E_m = \text{costante}

Quindi, derivando rispetto al tempo, si ottiene, dice.

\frac{dE_m}{dt} = mv\frac{dv}{dt} + \frac{GMm}{(R+x )^2}\frac{dx}{dt} = 0

Semplificando e isolando il rapporto dxtd, si ottiene:

\frac{dx}{dt} = -\frac{v}{GM}(R+x )^2\frac{dv}{dt}

Questa equazione differenziale può essere risolta usando il metodo delle variabili separabili, ottenendo, dice.

\frac{dx}{\sqrt{2GM(R+x )}} = -\frac{dt}{\sqrt{R}}

Integrando entrambi i membri, si ottiene, dice.

\sqrt{2GM}\int_{h}^{0}\frac{dx}{\sqrt{(R+x )(R+h+x )}} = -\sqrt{R}\int_{0}^{t}dt

dove h è l’altezza iniziale del corpo e t è il tempo di caduta. Questa integrale può essere risolta usando il cambio di variabile x=R(tanu−1), ottenendo, dice.

\sqrt{2GM}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{h}{R}+1\right)\right] = -\sqrt{R}t

Isolando il tempo t, si ottiene la formula, dice.

t = \sqrt{\frac{R}{2GM}}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{h}{R}+1\right)\right]

Questa formula è equivalente a quella che ha usato prima, ma è stata ricavata usando il principio di conservazione dell’energia meccanica, dice. Tiene conto della variazione dell’accelerazione di gravità con l’altezza, perciò è valida per altezze non troppo elevate rispetto al raggio della Terra, e quindi introduce un errore trascurabile nel suo caso, dice.

La formula che tiene conto invece dell’accelerazione di gravità esatta, cioè quella che dipende dalla distanza del corpo dal centro della Terra, è la seguente, dice.

g = \frac{GM}{(R+x )^2}

dove R è il raggio della Terra e x è l’altezza del corpo, dice. Questa formula è più precisa, ma anche più complicata da usare, perché rende l’equazione differenziale che descrive il moto del corpo più arda da risolvere.

Si tratta di un’equazione differenziale di primo ordine, separabile in variabili, dice. Per risolverla, bisogna isolare le variabili x e y nei due membri dell’equazione, e integrare entrambi i membri rispetto alla variabile corrispondente, dice. Il risultato è una funzione implicita che esprime la relazione tra x e y. Inoltre, bisogna trovare la costante di integrazione C, che dipende dalle condizioni iniziali del problema. Passaggi che Lui ha seguito per risolvere l’equazione, dice.

Lui scrive l'equazione differenziale, dice.

y' = \frac{x}{y}

Isola le variabili x e y nei due membri dell’equazione, moltiplicando entrambi i membri per y e per dx, dice.

ydy = xdx

Integro entrambi i membri rispetto alla variabile corrispondente, usando le regole di integrazione, dice.

\int ydy = \int xdx

\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C

Scrive la funzione implicita che esprime la relazione tra x e y, portando tutti i termini nel primo membro, dice.

y^2 - x^2 - 2C = 0

Trovo la costante di integrazione C, usando le condizioni iniziali date, cioè y(1)=2. Sostituisce questi valori nella funzione implicita e risolve per C, dice:

2^2 - 1^2 - 2C = 0

4 - 1 - 2C = 0

-2C = -3

C = \frac{3}{2}

Questa è la soluzione dell’equazione differenziale data, con le condizioni iniziali date, dice.
Quest’ultima formula è più precisa, perché tiene conto dell’accelerazione di gravità esatta, cioè quella che dipende dalla distanza del corpo dal centro della Terra, dice. Questa formula è più complicata da usare, perché rende l’equazione differenziale che descrive il moto del corpo più difficile da risolvere. Però, è più accurata, perché non introduce errori dovuti all’approssimazione dell’accelerazione di gravità con una costante.

CITAZIONE

Rispetto al tempo in cui é invisibile, nessuna curvatura, nessun Angolo. Scompare a un terzo del cammino e riappare a due terzi in un percorso con velocitá e accelerazione variabile. Solo puoi calcolare, se puoi, il tempo dei tre rami e fare le differenze. E questa é la risposta che aspettavo, niente di piú. I calcoli sono difficili ma non impossibili.

Questo metodo è più complicato e meno preciso, ma può provare a calcolare il tempo di caduta di un corpo in un campo gravitazionale variabile, dice. I calcoli sono difficili e potrebbero contenere degli errori, ma ci prova.

Deve prima trovare la lunghezza di ogni ramo del percorso, che è uguale a un terzo dell’altezza iniziale del corpo, cioè h/3, dove h è l’altezza iniziale del corpo, dice. Poi, deve trovare la distanza del corpo dal centro della Terra alla fine di ogni ramo, che è uguale al raggio della Terra più l’altezza del corpo, cioè R+x, dove R è il raggio della Terra e x è l’altezza del corpo. Infine, deve usare la formula per il tempo di caduta, dice.

t = \sqrt{\frac{R}{2GM}}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{x}{R}+1\right)\right]

dove t è il tempo di caduta, G è la costante di gravitazione universale e M è la massa della Terra.
Usando questa formula, può calcolare il tempo di caduta del corpo dalla sua altezza iniziale fino alla fine del primo ramo, sostituendo x=h/3, e ottenendo, dice.

t_1 = \sqrt{\frac{R}{2GM}}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{h}{3R}+1\right)\right]

Poi, può calcolare il tempo di caduta del corpo dalla fine del primo ramo fino alla fine del secondo ramo, sostituendo x=2h/3, e ottenendo, dice.

t_2 = \sqrt{\frac{R}{2GM}}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{2h}{3R}+1\right)\right]

Infine, può calcolare il tempo di caduta del corpo dalla fine del secondo ramo fino alla superficie terrestre, sostituendo x=h, e ottenendo, dice.

t_3 = \sqrt{\frac{R}{2GM}}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{h}{R}+1\right)\right]

Questi sono i tempi di caduta dei tre rami del percorso, dice. Per trovare il tempo in cui il corpo è visibile, devo sottrarre il tempo in cui il corpo è nascosto, che è uguale al tempo di caduta del secondo ramo, cioè t2. Quindi, il tempo in cui il corpo è visibile è dato dalla differenza tra il tempo totale di caduta e il tempo in cui il corpo è nascosto, cioè, dice.

t_v = t_1 + t_3 - t_2

Sostituendo i valori trovati, si ottiene, dice.

t_v = \sqrt{\frac{R}{2GM}}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{h}{3R}+1\right) + \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{h}{R}+1\right) - \frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{2h}{3R}+1\right)\right]

Semplificando, si ottiene, dice.

t_v = \sqrt{\frac{R}{2GM}}\left[\arctan\left(\frac{2h}{3R}+1\right) - \arctan\left(\frac{h}{3R}+1\right) - \arctan\left(\frac{h}{R}+1\right)\right]

Il corpo è visibile per il tempo dato da questa formula, che dipende dai valori di h, R, G e M, dice.

EdwardNewG

Posted on 13/11/2023, 23:44

Mostruositá extraterrestre

Group: Fan da paura

Posts: 1,362

Reputation: +524

Location: Altroquando

Status: Morto

La prima formula che scrisse lui non é la stessa del secondo post. Il ragionamento é corretto ma scrivendo sul forum √GM ti é finito in posizioni strane in un paio di passaggi. Le formule che hai scritto adesso sono migliori ma non mi sembrano dimensionalmente corrette. Ti vengono tipo secondo/metri invece che un'unitá di tempo
In piú nella tua formula il tempo viene proporzionale al raggio della Terra e non mi quadra (ma magari poi é equivalente...)

A me veniva molto piú veloce eguagliare Energia cinetica con la variazione di energía potenziale

Quindi grosso modo uguale, ma i calcoli mi venivano leggermente piú diretti

dt= -dr/[√2GM√(1/r-1/r₀)]

Dove r é la distanza variabile dal nucleo della Terra e r₀ la distanza iniziale (15,4km). Sostituisci u²=r/r₀ e integri

Quindi t= √(r₀³) / √2GM * [√(R-R²) + arcsin√(1-R)]

Dove R =r/r₀

Ora t₀ é il tempo nel punto iniziale r₀ che é uguale a zero
t₁ dopo un terzo di percorso a r₁ (12,4 km), t₂ a due terzi (9,4) e t₃ all'arrivo sulla superficie della Terra (6,4)

Il tempo in cui é visibile é t₃ -(t₂-t₁) = t₃ -t₂+t₁

Io magari ho ciccato l'integrale. Dagli un'occhiata se puoi

In fine risulta visibile per 9 ore circa si una caduta totale di quasi 12.

Dalla formula generale, approssimando per piccole cadute, si torna alla nota t=√2h/g

Il tempo di caduta fini al nucleo sarebbe
t= π√(r₀/2)³ / √GM

Viene fuori un dato curioso se comparato con il tempo orbitale per un raggio r₀ dove l'accelerazione centripeta é GM/r₀² che deve essere uguale a v²/r₀

Quindi v = √GM/r₀

Con un orbita lunga 2πr₀ risulta che il tempo orbitale é
t= 2π√r₀³ / √GM

Tra l'uno e l'altro c'é un rapporto di 4√2. Cadere é un po' come girarci in torno e anche noi siamo in caduta costante

Edited by EdwardNewG - 23/11/2023, 20:14

4 replies since 13/11/2023, 09:53 133 views

Quiz di EdwardNew G

Gravità